Maxwell-ligninger er fundamentet for elektromagnetisk teori, som udgør et sæt af fire ligninger, der vedrører de elektriske og magnetiske felter. I stedet for at angive den matematiske repræsentation af Maxwell-ligninger, vil vi fokusere på, hvad der er den aktuelle betydning af disse ligninger i denne artikel. Maxwells første og anden ligning beskæftiger sig med henholdsvis statiske elektriske felter og statiske magnetfelter. Maxwells tredje og fjerde ligning beskæftiger sig med skiftende henholdsvis magnetfelter og skiftende elektriske felter.
Maxwell-ligningerne er:
- Gauss lov om elektricitet
- Gauss Magnetism Law
- Faradays lov om induktion
- Ampere's lov
1. Gauss lov om elektricitet
Denne lov siger, at den elektriske flux ud af en lukket overflade er proportional med den samlede ladning, der er omgivet af den overflade. Gauss-loven beskæftiger sig med det statiske elektriske felt.
Lad os overveje en positiv punktladning Q. Vi ved, at de elektriske fluxledninger er rettet udad fra den positive ladning.
Lad os overveje en lukket overflade med Charge Q indesluttet i den. Områdevektoren er altid valgt Normal i forhold til den, fordi den repræsenterer overfladens orientering. Lad vinklen fra den elektriske feltvektor med areavektoren være θ.
Electric Flux ux er
Årsagen til at vælge prikproduktet er, at vi skal beregne, hvor meget elektrisk strøm der passerer gennem overfladen repræsenteret af en normal areavektor.
Fra coulombs lov ved vi, at det elektriske felt (E) på grund af en punktladning er Q / 4πε 0 r 2.
I betragtning af en sfærisk symmetri er den integrerede form for Gauss-lov:
Derfor er den elektriske flux Ψ = Q lukket / ε 0
Her repræsenterer den vedlagte Q vektorsummen af alle ladningerne inde i overfladen. Området, der omslutter ladningen, kan have en hvilken som helst form, men for at anvende Gauss-loven skal vi vælge en Gaussisk overflade, der er symmetrisk og har ensartet ladningsfordeling. Den Gaussiske overflade kan være cylindrisk eller sfærisk eller et plan.
For at udlede dens differentiale form er vi nødt til at anvende divergens sætning.
Ovenstående ligning er forskellen form af Gauss lov eller Maxwell ligning jeg.
I ovenstående ligning repræsenterer ρ volumenladningstætheden. Når vi skal anvende Gauss-loven på en overflade med en linjeladning eller en overfladeladningsfordeling, er det mere praktisk at repræsentere ligningen med ladningstæthed.
Derfor kan vi udlede, at divergensen af et elektrisk felt over en lukket overflade giver den mængde ladning (ρ), der er omgivet af det. Ved at anvende divergens på et vektorfelt kan vi vide, om overfladen, der er omsluttet af vektorfeltet, fungerer som kilde eller vask.
Lad os overveje en kuboid med en positiv ladning som vist ovenfor. Når vi anvender divergens på det elektriske felt, der kommer ud af kassen (kuboid), fortæller resultatet af det matematiske udtryk, at kassen (kuboid) betragtes fungerer som en kilde til det beregnede elektriske felt. Hvis resultatet er negativt, fortæller det os, at kassen fungerer som en vask, dvs. kassen lukker en negativ ladning i den. Hvis afvigelsen er nul, betyder det, at der ikke er noget gebyr i den.
Ud fra dette kunne vi udlede, at der findes elektriske monopol.
2. Gauss Magnetism Law
Vi ved, at den magnetiske fluxledning strømmer fra nordpolen til sydpolen eksternt.
Da der er magnetiske fluxledninger på grund af en permanent magnet, vil der være en tilhørende magnetisk fluxdensitet (B) af den. Når vi anvender divergenssætning på overflade S1, S2, S3 eller S4, ser vi, at antallet af fluxlinjer, der kommer ind og går ud af den valgte overflade, forbliver det samme. Derfor er resultatet af divergenssætningen nul. Selv i overfladen S2 og S4 er divergensen nul, hvilket betyder, at hverken nordpolen eller sydpolen hver for sig fungerer som en kilde eller synker som de elektriske ladninger. Selv når vi anvender divergens af magnetfeltet (B) på grund af en strømførende ledning, viser det sig at være nul.
Den integrerede form for Gauss Magnetism-lov er:
Den differentielle form for Gauss Magnetism-lov er:
Ud fra dette kunne vi udlede, at magnetiske monopol ikke findes.
3. Faradays lov om induktion
Faradays lov siger, at når der er en ændring i magnetisk flux (ændring med hensyn til tid), der forbinder en spole eller en hvilken som helst leder, vil der være en EMF induceret i spolen. Lenz sagde, at den inducerede EMF vil være i en sådan retning, at den modsætter sig ændringen i magnetisk flux, der producerer den.
I ovenstående illustration induceres cirkulationsstrøm i den, når en ledende plade eller en leder bringes under indflydelse af et skiftende magnetfelt. Strømmen induceres i en sådan retning, at det magnetfelt, der produceres af den, modsætter sig den skiftende magnet, der skabte den. Fra denne illustration er det tydeligt, at skiftende eller varierende magnetfelt skaber et cirkulerende elektrisk felt.
Fra Faradays lov, emf = - dϕ / dt
Vi ved det, ϕ = lukket overflade ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Elektrisk felt E = V / d
V = ʃ E. Dl
Da det elektriske felt ændrer sig i forhold til overfladen (krølle), findes der en potentiel forskel V.
Derfor er den integrerede form af Maxwells fjerde ligning,
Ved at anvende Stokes sætning
Årsagen til at anvende Stokes sætning er, at når vi tager en krølle af et roterende felt over en lukket overflade, annullerer de indre krøllekomponenter i vektoren hinanden, og dette resulterer i evaluering af vektorfeltet langs den lukkede sti.
Derfor kan vi skrive det,
Den differentielle form for Maxwells ligning er
Fra ovenstående udtryk er det klart, at et magnetfelt, der skifter med hensyn til tid, producerer et cirkulerende elektrisk felt.
Bemærk: I elektrostatik er krøllen i et elektrisk felt nul, fordi det kommer radialt udad fra ladningen, og der er ingen roterende komponent forbundet med det.
4. Ampere's lov
Ampere's lov siger, at når en elektrisk strøm strømmer gennem en ledning, producerer den et magnetfelt omkring den. Matematisk giver linjens integral af magnetfeltet omkring en lukket sløjfe den samlede strøm, der er omsluttet af den.
ʃ B .dl = μ 0 I lukket
Da magnetfeltet krøller sig omkring ledningen, kan vi anvende Stokes sætning til Ampers lov.
Derfor bliver ligningen
Vi kan repræsentere strømmen indesluttet med hensyn til strømtæthed J.
B = μ 0 H ved at bruge denne relation kan vi skrive udtrykket som
Når vi anvender divergens på krøllen i et roterende vektorfelt, er resultatet nul. Det er fordi den lukkede overflade ikke fungerer som en kilde eller vask, dvs. antallet af flux, der kommer ind og går ud af overfladen, er det samme. Dette kan matematisk repræsenteres som,
Lad os overveje et kredsløb som illustreret nedenfor.
Kredsløbet har en kondensator tilsluttet. Når vi anvender divergens i regionen S1, viser resultatet, at den ikke er nul. I matematisk notation,
Der er en strøm i kredsløbet, men i kondensatoren overføres ladningerne på grund af skiftende elektrisk felt på tværs af pladerne. Så fysisk strømmer strømmen ikke igennem den. Maxwell opfandt denne skiftende elektriske strøm som forskydningsstrøm (J D). Men Maxwell opfandt udtrykket forskydningsstrøm (J D) i betragtning af symmetrien i Faradays lov, dvs. hvis et magnetfelt, der ændrer sig i tiden, producerer et elektrisk felt, så skifter det elektriske felt ved symmetri et magnetfelt.
Krøllen af magnetfeltintensiteten (H) i regionen S1 er
Den integrerede form af Maxwells fjerde ligning kan udtrykkes som:
Den differentielle form for Maxwells fjerde ligning er:
Alle disse fire ligninger enten i integralform eller differentiel form sammensat kaldes Maxwells ligning.