- Analoge eller digitale filtre
- Aktive eller passive filtre
- Filtre baseret på lyd- eller radiofrekvens
- Filtre baseret på frekvensvalg
- Første ordre lavpas Butterworth-filter
- Andenordens Butterworth lavpasfilter
- Andenordens Low Pass Butterworth Filter Derivation -Aliter
Elektriske filtre har mange applikationer og bruges i vid udstrækning i mange signalbehandlingskredsløb. Det bruges til at vælge eller eliminere signaler fra den valgte frekvens i et komplet spektrum af en given indgang. Så filteret bruges til at lade signaler fra den valgte frekvens passere gennem det eller eliminere signaler fra den valgte frekvens, der passerer gennem det.
På nuværende tidspunkt er der mange typer filtre tilgængelige, og de differentieres på mange måder. Og vi har dækket mange filtre i tidligere tutorials, men mest populære differentiering er baseret på,
- Analog eller digital
- Aktiv eller passiv
- Audio eller radiofrekvens
- Frekvensvalg
Analoge eller digitale filtre
Vi ved, at signaler, der genereres af miljøet, er analoge, mens signalerne, der behandles i digitale kredsløb, er digitale. Vi skal bruge tilsvarende filtre til analoge og digitale signaler for at opnå det ønskede resultat. Så vi er nødt til at bruge analoge filtre under behandling af analoge signaler og bruge digitale filtre, mens vi behandler digitale signaler.
Aktive eller passive filtre
Filtrene er også opdelt på basis af de komponenter, der blev brugt under design af filtre. Hvis filterets design er helt baseret på passive komponenter (som modstand, kondensator og induktor) kaldes filteret passivt filter. På den anden side, hvis vi bruger en aktiv komponent (op-amp, spændingskilde, strømkilde), mens vi designer et kredsløb, kaldes filteret et aktivt filter.
Mere populært foretrækkes dog et aktivt filter frem for passivt, da de har mange fordele. Nogle af disse fordele er nævnt nedenfor:
- Intet belastningsproblem: Vi ved i et aktivt kredsløb, at vi bruger en op-forstærker, der har meget høj indgangsimpedans og lav udgangsimpedans. I så fald når vi forbinder et aktivt filter til et kredsløb, vil strømmen trukket af op-amp være meget ubetydelig, da det har meget høj indgangsimpedans og derved ikke oplever kredsløb, når filteret er tilsluttet.
- Få justeringsfleksibilitet: I passive filtre er forstærkning eller signalforstærkning ikke mulig, da der ikke er nogen specifikke komponenter til at udføre en sådan opgave. På den anden side i et aktivt filter har vi op-forstærker, der kan give høj forstærkning eller signalforstærkning til indgangssignalerne.
- Frekvensjusteringsfleksibilitet: Aktive filtre har højere fleksibilitet, når de justerer afskæringsfrekvensen sammenlignet med passive filtre.
Filtre baseret på lyd- eller radiofrekvens
Komponenterne, der anvendes til design af filter, skifter afhængigt af anvendelsen af filteret, eller hvor opsætningen bruges. For eksempel bruges RC-filtre til lyd- eller lavfrekvente applikationer, mens LC-filtre bruges til radio- eller højfrekvente applikationer.
Filtre baseret på frekvensvalg
Filtrene er også opdelt baseret på de signaler, der føres gennem filteret
Lavpasfilter:
Alle signaler over valgte frekvenser dæmpes. De er af to typer - Aktivt lavpasfilter og Passivt lavpasfilter. Lavpasfilterets frekvensrespons er vist nedenfor. Her er den stiplede graf den ideelle lavpasfiltergraf, og en ren graf er det faktiske svar fra et praktisk kredsløb. Dette skete, fordi et lineært netværk ikke kan producere et diskontinuerligt signal. Som vist i figur, når signalerne når afskæringsfrekvensen fH, oplever de dæmpning, og efter en bestemt højere frekvens blokeres signalerne givet ved indgangen fuldstændigt.
Højpasfilter:
Alle signaler over valgte frekvenser vises ved udgangen, og et signal under frekvensen bliver blokeret. De er af to typer - aktivt højpasfilter og passivt højpasfilter. Frekvensresponset for et højpasfilter er vist nedenfor. Her er en stiplet graf den ideelle højpasfiltergraf, og en ren graf er det faktiske svar fra et praktisk kredsløb. Dette skete, fordi et lineært netværk ikke kan producere et diskontinuerligt signal. Som vist i figuren, indtil signalerne har en frekvens, der er højere end afskæringsfrekvensen fL, oplever de dæmpning.
Båndpasfilter:
I dette filter er det kun signaler fra det valgte frekvensområde, der kan vises ved udgangen, mens signaler fra enhver anden frekvens blokeres. Båndpasfilterets frekvensrespons er vist nedenfor. Her er den stiplede graf den ideelle båndpasfiltergraf, og en ren graf er det faktiske svar fra et praktisk kredsløb. Som vist i figuren får signalerne på frekvensområdet fra fL til fH lov til at passere gennem filteret, mens signaler fra anden frekvens oplever dæmpning. Lær mere om Band Pass Filter her.
Båndafvisningsfilter:
Båndafvisningsfilterfunktion er det stik modsatte af båndpasfilteret. Alle frekvenssignaler med frekvensværdi i det valgte båndområde, der tilvejebringes ved indgangen, blokeres af filteret, mens signaler fra en hvilken som helst anden frekvens får lov til at vises ved udgangen.
Alle passfilter:
Signaler af enhver frekvens får lov til at passere gennem dette filter, medmindre de oplever et faseskift.
Baseret på applikationen og omkostningerne kan designeren vælge det passende filter fra forskellige typer.
Men her kan du se på outputgraferne, at de ønskede og faktiske resultater ikke er nøjagtigt de samme. Selvom denne fejl er tilladt i mange applikationer, har vi nogle gange brug for et mere nøjagtigt filter, hvis outputgraf tendens mere mod det ideelle filter. Dette næsten ideelle svar kan opnås ved hjælp af specielle designteknikker, præcisionskomponenter og op-forstærkere med høj hastighed.
Butterworth, Caur og Chebyshev er nogle af de mest anvendte filtre, der kan give en næsten ideel reaktionskurve. I dem vil vi diskutere Butterworth-filteret her, da det er det mest populære af de tre.
De vigtigste funktioner i Butterworth-filteret er:
- Det er et RC (Resistor, Capacitor) & Op-amp (operationsforstærker) baseret filter
- Det er et aktivt filter, så forstærkningen kan justeres, hvis det er nødvendigt
- Nøglekarakteristikken ved Butterworth er, at den har et fladt passbånd og et fladt stopbånd. Dette kaldes normalt 'flad-flad filter'.
Lad os nu diskutere kredsløbsmodellen af Low Pass Butterworth Filter for en bedre forståelse.
Første ordre lavpas Butterworth-filter
Figuren viser kredsløbsmodellen af filteret af første ordens lavpas-smørværdi.
I kredsløbet har vi:
- Spænding 'Vin' som et indgangsspændingssignal, der er analogt.
- Spænding 'Vo' er udgangsspændingen fra operationsforstærkeren.
- Modstande 'RF' og 'R1' er de negative feedback-modstande for operationsforstærkeren.
- Der er et enkelt RC-netværk (markeret med den røde firkant) til stede i kredsløbet, derfor er filteret et første ordens lavpasfilter
- 'RL' er belastningsmodstanden forbundet med op-amp output.
Hvis vi bruger spændingsdelerreglen ved punkt 'V1', kan vi få spændingen over kondensatoren som, V 1 = V i Her -jXc = 1 / 2ᴫfc
Efter udskiftning af denne ligning vil vi have noget som nedenfor
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Nu bruges op-amp her i negativ feedback-konfiguration, og i et sådant tilfælde er udgangsspændingsligningen angivet som, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Dette er en standardformel, og du kan se nærmere på op-amp kredsløb.
Hvis vi sender V1-ligning til Vo, har vi, V0 = (1 + R F / R 1)
Efter omskrivning af denne ligning kan vi have, V 0 / V in = A F / (1 + j (f / f L))
I denne ligning
- V 0 / V in = forstærkning af filteret som funktion af frekvens
- AF = (1 + R F / R 1) = passband forstærkning af filteret
- f = frekvens af indgangssignalet
- f L = 1/2 =RC = filterets afskæringsfrekvens. Vi kan bruge denne ligning til at vælge passende modstands- og kondensatorværdier til at vælge kredsløbets afskæringsfrekvens.
Hvis vi konverterer ovenstående ligning til en polær form, har vi,
Vi kan bruge denne ligning til at observere ændringen i forstærkningsstørrelse med ændringen i indgangssignalets frekvens.
Sag 1: f <
Så når indgangsfrekvensen er meget mindre end filterafskæringsfrekvensen, er forstærkningsstørrelsen omtrent lig med loopforstærkning af op-amp.
Situation2: f = f L. Hvis indgangsfrekvensen er lig med filterets afskæringsfrekvens,
Så når indgangsfrekvensen er lig med filterafskæringsfrekvensen, er forstærkningsstørrelsen 0,707 gange loopforstærkning af op-amp.
Sagen3: f> f L. Hvis indgangsfrekvensen er højere end filterets afskæringsfrekvens,
Som du kan se fra mønsteret, vil forstærkning af filteret være den samme som op-forstærker, indtil indgangssignalfrekvensen er mindre end afskæringsfrekvensen. Men når indgangssignalfrekvensen når afskæringsfrekvensen, falder forstærkningen marginalt som det ses i tilfælde to. Og når indgangssignalfrekvensen øges yderligere, reduceres forstærkningen gradvist, indtil den når nul. Så lavpas Butterworth-filteret tillader, at indgangssignalet vises ved udgangen, indtil frekvensen af indgangssignalet er lavere end afskæringsfrekvensen.
Hvis vi har tegnet frekvensresponsgrafen for ovenstående kredsløb, har vi,
Som det ses i grafen, vil forstærkningen være lineær, indtil frekvensen af indgangssignalet krydser afskæringsfrekvensværdien, og når det sker, falder forstærkningen betydeligt, så også udgangsspændingsværdien.
Andenordens Butterworth lavpasfilter
Figuren viser kredsløbsmodellen af 2. ordens Butterworth lavpasfilter.
I kredsløbet har vi:
- Spænding 'Vin' som et indgangsspændingssignal, der er analogt.
- Spænding 'Vo' er udgangsspændingen fra operationsforstærkeren.
- Modstande 'RF' og 'R1' er de negative feedback-modstande for operationsforstærkeren.
- Der er et dobbelt RC-netværk (markeret med en rød firkant) til stede i kredsløbet, hvorfor filteret er et andet ordens lavpasfilter.
- 'RL' er belastningsmodstanden forbundet med op-amp output.
Anden ordens Low Pass Butterworth-filterafledning
Andenordens filtre er vigtige, fordi filtre med højere ordre er designet ved hjælp af dem. Forstærkningen af anden ordens filter indstilles ved R1 og RF, mens afskæringsfrekvensen f H bestemmes ved R 2, R 3, C 2 & C 3 værdier. Afledningen for afskæringsfrekvensen er givet som følger, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Spændingsforstærkningsligningen for dette kredsløb kan også findes på en lignende måde som før, og denne ligning er angivet nedenfor,
I denne ligning
- V 0 / V in = forstærkning af filteret som funktion af frekvens
- A F = (1 + R F / R 1) passband forstærkning af filteret
- f = frekvens af indgangssignalet
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = grænsefrekvens af filteret. Vi kan bruge denne ligning til at vælge passende modstands- og kondensatorværdier til at vælge kredsløbets afskæringsfrekvens. Også hvis vi vælger den samme modstand og kondensator i RC-netværket, bliver ligningen,
Vi kan spændingsforstærkningsligningen for at observere ændringen i forstærkningsstørrelse med den tilsvarende ændring i frekvensen af indgangssignalet.
Sag 1: f <
Så når indgangsfrekvensen er meget mindre end filterafskæringsfrekvensen, er forstærkningsstørrelsen omtrent lig med loopforstærkning af op-amp.
Situation2: f = f H. Hvis indgangsfrekvensen er lig med filterets afskæringsfrekvens,
Så når indgangsfrekvensen er lig med filterafskæringsfrekvensen, er forstærkningsstørrelsen 0,707 gange loopforstærkning af op-amp.
Sagen3: f> f H. Hvis indgangsfrekvensen virkelig er højere end filterets afskæringsfrekvens,
I lighed med filteret i første orden vil forstærkning af filteret være den samme som op-amp forstærkning indtil indgangssignalfrekvensen er mindre end afskæringsfrekvensen. Men når indgangssignalfrekvensen når afskæringsfrekvensen, falder forstærkningen marginalt som det ses i tilfælde to. Og når indgangssignalfrekvensen øges yderligere, reduceres forstærkningen gradvist, indtil den når nul. Så lavpas Butterworth-filteret tillader, at indgangssignalet vises ved udgangen, indtil frekvensen af indgangssignalet er lavere end afskæringsfrekvensen.
Hvis vi tegner frekvensresponsgrafen for det ovenstående kredsløb, har vi,
Nu spekulerer du måske på, hvor er forskellen mellem førsteordensfilter og andenordensfilter ? Svaret er i grafen. Hvis du observerer nøje, kan du se, efter at indgangssignalfrekvensen krydser afskæringsfrekvensen, får grafen et stejlt fald, og dette fald er tydeligere i anden orden sammenlignet med første ordre. Med denne stejle hældning vil andetordens Butterworth-filter være mere tilbøjelig til den ideelle filtergraf sammenlignet med et enkeltordens Butterworth-filter.
Dette er det samme for Third Order Butterworth Low Pass Filter, Forth Order Butterworth Low Pass Filter og så videre. Jo højere filterrækkefølgen er, desto mere læner forstærkningsgrafen til en ideel filtergraf. Hvis vi tegner forstærkningsgrafen for højere ordens Butterworth-filtre, har vi noget som dette,
I grafen repræsenterer den grønne kurve den ideelle filterkurve, og du kan se, når rækkefølgen af Butterworth-filteret øger dens forstærkningsgraf, læner sig mere mod den ideelle kurve. Så højere rækkefølgen af det valgte Butterworth-filter, jo mere ideel vil forstærkningskurven være. Når det er sagt, kan du ikke vælge et filter af højere orden let, da filterets nøjagtighed falder med en stigning i rækkefølgen. Derfor er det bedst at vælge rækkefølgen af et filter, mens man holder øje med den krævede nøjagtighed.
Andenordens Low Pass Butterworth Filter Derivation -Aliter
Efter at artiklen blev offentliggjort, modtog vi en mail fra Keith Vogel, som er pensioneret elektrotekniker. Han havde bemærket en meget offentliggjort fejl i beskrivelsen af et 2. ordens lavpasfilter og tilbød sin forklaring for at rette det, som er som følger.
Så lad mig også få ret:
Og så sig for at sige -6db cutoff frekvensen er beskrevet af ligningen:
f c = 1 / (
Dette er dog simpelthen ikke sandt! Lad os få dig til at tro mig. Lad os lave et kredsløb, hvor R1 = R2 = 160, og C1 = C2 = 100nF (0.1uF). I betragtning af ligningen skal vi have en -6db frekvens på:
f c = 1 / (
Lad os gå videre og simulere kredsløbet og se, hvor -6db-punktet er:
Åh, det simulerer til 6,33 kHz IKKE 9,947 kHz; men simuleringen er IKKE forkert!
Til din information har jeg brugt -6.0206db i stedet for -6db, fordi 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 er lidt tættere end -6, og for at få en mere nøjagtig simuleret frekvens til vores ligninger, ville jeg bruge noget lidt tættere end bare -6db. Hvis jeg virkelig ønskede at opnå frekvensen skitseret af ligningen, ville jeg nødt til at buffer mellem 1 m og 2 nd stadier af filteret. Et mere nøjagtigt kredsløb til vores ligning ville være:
Og her ser vi vores -6.0206db-punkt simulerer til 9.945kHz, meget meget tættere på vores beregnede 9.947kHz. Forhåbentlig tror du mig på, at der er en fejl! Lad os nu tale om, hvordan fejlen opstod, og hvorfor dette bare er dårlig teknik.
De fleste beskrivelser vil starte med en 1 st ordens lavpasfilter, med impedansen som følger.
Og du får en simpel overføringsfunktion af:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Så siger de, at hvis du bare lægger 2 af disse sammen for at lave et 2. ordres filter, får du:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Hvor H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (SRC + 1)
Hvilket når beregnet ud vil resultere i ligningen fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Her er den fejl, responset af H 1 (s) ikke er uafhængig af H 2 (r) i kredsløbet, kan man ikke sige H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (SRC + 1).
Impedansen af H 2 (s) påvirker responset af H 1 (s). Og derfor fungerer dette kredsløb, fordi opampen isolerer H 2 (s) fra H 1 (s)!
Så nu skal jeg analysere følgende kredsløb. Overvej vores oprindelige kredsløb:
For enkelheds skyld skal jeg lave R1 = R2 og C1 = C2, ellers bliver matematikken virkelig involveret. Men vi skal være i stand til at udlede den aktuelle overføringsfunktion og sammenligne den med vores simuleringer til validering, når vi er færdige.
Hvis vi siger, Z 1 = 1 / sC parallelt med (R + 1 / sC), kan vi tegne kredsløbet igen som:
Vi ved, at V 1 / V i = Z 1 / (R + Z 1); Hvor Z 1 kan være en kompleks impedans. Og hvis vi går tilbage til vores oprindelige kredsløb, kan vi se Z 1 = 1 / sC parallelt med (R + 1 / sC)
Vi kan også se, at Vo / V 1 = 1 / (SRC + 1), som er H 2 (s). Men H 1 (s) er meget mere kompleks, det er Z 1 / (R + Z 1) hvor Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); og er IKKE 1 / (sRC + 1)!
Så lad os nu male gennem matematikken til vores kredsløb; til specialtilfældet R1 = R2 og C1 = C2.
Vi har:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
Og endelig
Vo / V i = * = * = * = * = *
Her kan vi se det:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
ikke 1 / (SRC + 1) H 2 (s) = 1 / (SRC + 1)
Og..
Vo / V i = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((SRC) 2 + 3sRC + 1)
Vi ved, at -6db-punktet er (
Og vi ved, når størrelsen af vores overføringsfunktion er på 0,5, vi er ved -6db-frekvensen.
Så lad os løse det:
-Vo / V in - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Lad s = jꙍ, vi har:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
For at finde størrelsen skal du tage kvadratroden af kvadratet med de virkelige og imaginære termer.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
kvadrering af begge sider:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Udvider:
1-2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Lad x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Brug af den kvadratiske ligning til at løse for x
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. eneste virkelige svar er +
Husk
x = (ꙍRC) 2
erstatter x
(ꙍRC) 2 = (
Udskiftning af ꙍ med 2
2
f c = (
Grimt, du tror måske ikke på mig, så læs videre… For det originale kredsløb gav jeg dig:
f c = (
Hvis vi går tilbage til vores oprindelige simulering til dette kredsløb, så vi -6db-frekvensen ved ~ 6.331kHz, som passer nøjagtigt til vores beregninger!
Simuler dette for andre værdier, du vil se ligningen er korrekt.
Vi kan se, at når vi buffer mellem de to 1 st ordre lavpasfiltre kan vi bruge ligningen
f c = 1 / (
Og hvis R1 = R2 og C1 = C2, kan vi bruge ligningen:
f c = 1 /
Men hvis vi ikke buffer mellem de to første ordensfiltre, bliver vores ligning (givet R1 = R2, C1 = C2):
f c = (
f c ~ 0.6365 / 2
Advarsel! Forsøg ikke at sige:
f c = 0,6365 / (
Husk, H 2 (s) påvirker H 1 (s); men ikke omvendt, filtrene er ikke symmetriske, så tag ikke denne antagelse!
Så hvis du skal forblive med din nuværende ligning, vil jeg anbefale et kredsløb, der er mere som dette:
